初三数学复习攻略 关于“四点共圆”解题思路get起来

在初三数学复习中，很多学生会遇到类似“四点共圆”的提醒，这里给大家总结一下此类问题的要点。

如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆.

如图②，若OA=OB=OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上.

如图③，常见结论有：∠ACB=∠AOB/2，∠BAC=∠BOC/2.

以上结论是如何证明的呢？下面让我们来证明一下。

∵OA=OB=OC.

∴A、B、C三点到点O的距离相等.

∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上.

∵∠ACB是 的圆周角，∠AOB是 的圆心角，

∴∠ACB=∠AOB/2.

同理可证∠BAC=∠BOC/2.

(1)若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆.

(2)构造辅助圆是方便利用圆的性质解决角度问题.

接下来，让我们一起研究一道典型例题：

如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD.

求证：∠1+∠2=90°.

详细证明过程：

证法一：如图①，

∵AB=AC=AD. ∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙A上.　∴∠ABC=∠2.

在△BAC中，∵∠BAC+∠ABC+∠2=180°,∴2∠1+2∠2=180°.∴∠1+∠2=90°.

证法二：如图②，

∵AB=AC=AD.∴∠BAC=2∠1.∵AB=AC，

∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙O上.

延长BA与圆A相交于E，连接CE.

∴∠E=∠1.(同弧所对的圆周角相等.)

∵AE=AC，∴∠E=∠ACE.

∵BE为⊙A的直径，∴∠BCE=90°.

∴∠2+∠ACE=90°.∴∠1+∠2=90°.

小伙伴们，通过上面的例题，有没有掌握关于“四点共圆”的解题思路呢？下面来练练手吧！

【习题作业】如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点 D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E.求证：∠1=∠2.